Pradžia
Įdomybių aruodas
Mokymosi medžiaga
Fizikos bandymai
Žymiausi fizikai
Interaktyvioji galerija
Nuorodos
Testai
Gyvenimiški klausimai

Hey.lt - Interneto reitingai, lankomumo statistika, lankytojų skaitliukai

Pradžia arrow Įdomybių aruodas arrow Įdomioji matematika arrow Įdomioji geometrija arrow Geometrinė ekonomija arrow Įstabi kvadrato savybė
Įstabi kvadrato savybė

Įstabi kvadrato savybė – apriboti didžiausią plotą, palyginus su kitais to paties perimetro stačiakampiais – yra daug kam nežinoma. Pateikiame todėl griežtą to teiginio įrodymą.

Pažymėkime stačiakampės figūros perimetrą raide P. Jei imsime tokio pat perimetro kvadratą, kiekvienos jo kraštinės ilgis turės būti P/4. Įrodykime, kad sutrumpindami vieną jo kraštinių kuriuo nors dydžiu b ir tiek pat pailgindami gretimą jo kraštinę, gausime to paties perimetro, bet mažesnio ploto stačiakampi. Kitaip sakant, įrodykime, kad kvadrato plotas (P/4)2 didesnis už stačiakampio plotą (P/4 – b)(P/4 + b), t.y.:

(P/4)2 > (P/4 – b)(P/4 + b)

Kadangi dešinioji šios nelygybės pusė lygi (P/4)2 – b2, todėl visa nelygybė įgauna pavidalą:

0 > – b2 arba b2 > 0.

Bet pastaroji nelygybė yra savaime suprantama: bet kurios tiekybės, teigiamos ar neigiamos, kvadratas yra didesnis už 0. Vadinas, teisinga ir pradinė nelygybė, iš kurios pastaroji buvo gauta.

Taigi, iš visų to paties perimetro stačiakampių kvadratas turi didžiausią plotą.

Iš čia, tarp kitko, seka ir, kad iš visų to paties ploto stačiakampių kvadratas turi mažiausią perimetrą. Tuo galima įsitikinti taip samprotaujant. Leiskime, kad tai neteisinga ir kad egzistuoja toks stačiakampis A, kuris, būdamas to paties ploto kaip ir kvadratas B, turi mažesnį už jį perimetrą. Tada, nubrėžę kvadratą C, kurio perimetras lygus stačiakampio A perimetrui, gautume kvadratą, turintį didesnį plotą už A, taigi ir didesnį už kvadrato B. Kas mums išeitų? Kad kvadratas C turi mažesnį perimetrą už kvadratą B, bet didesnį plotą už jį. Aišku, kad tai negalima: jei kvadrato C kraštinė mažesnė negu kvadrato B, tai ir jo plotas turi būti mažesnis. Vadinas, negalima buvo prileisti buvimą stačiakampio A, kuris turėtų tą patį plotą kaip kvadratas B, bet mažesnį perimetrą. Kitaip sakant, iš visų to paties ploto stačiakampių kvadratas turi mažiausią perimetrą.

Šių kvadratų savybių žinojimas būtų padėjęs Pachomui teisingai apskaičiuoti savo jėgas ir gauti didžiausio ploto stačiakampį sklypą. Žinodamas, kad jis gali be įtempimo praeiti per dieną, sakysime, 36 varstus, jis eitų kvadrato, kurio kraštinė 9 varstai, perimetru ir į vakarą būtų savininkas 81 kv. varsto sklypo – 3 kv. varstais daugiau negu gavo mirtinu jėgų įtempimu. Ir, atvirkščiai, jei jis iš anksto pasitenkintų kuriuo nors stačiakampio sklypo plotu, pavyzdžiui, 36 kv. varstų plotu, jis galėtų pasiekti tą rezultatą mažiausiu jėgų įtempimu, eidamas kvadrato, kurio kraštinė 6 varstai, perimetru.

 

 
< Ankstesnis   Kitas >