Pradžia
Įdomybių aruodas
Mokymosi medžiaga
Fizikos bandymai
Žymiausi fizikai
Interaktyvioji galerija
Nuorodos
Testai
Gyvenimiški klausimai

Hey.lt - Interneto reitingai, lankomumo statistika, lankytojų skaitliukai

Pradžia arrow Įdomybių aruodas arrow Įdomioji matematika arrow Įdomioji geometrija arrow Geometrija be matavimų ir be skaičiavimų arrow „Protingas“ rutuliukas
„Protingas“ rutuliukas

Nesudėtingi geometriniai brėžimai ką tik padėjo mums spręsti uždavinį apie biliardo rutuliuką, o dabar tegul tas pats biliardo rutuliukas pats padeda mums spręsti vieną įdomų seną uždavinį.

Argi tai galima?– juk rutuliukas negali galvoti.

Teisingai, bet tais atvejais, kai reikia ką nors apskaičiuoti ir, be to, yra žinoma, kokius veiksmus duotais skaičiais reikia atlikti ir kuria tvarka, tokį apskaičiavimą galima pavesti mašinai, kuri atliks tai greitai ir be klaidų.

Tam yra sugalvota daugelis mechanizmų, pradedant nuo aritmometro ir baigiant sudėtingiausiomis elektrinėmis mašinomis.

Laisvalaikiu dažnai užsiimama uždaviniu apie tai, kaip nupilti tam tikrą dalį vandens iš pilno žinomos talpos indo, turint du kitus taip pat žinomos talpos tuščius indus.

Štai vienas tos rūšies uždavinių.

Išpilstyti pusiau 12 kibirų statinės turinį, turint dvi tuščias statines – devynių kibirų ir penkių kibirų talpos?

Tam uždaviniui spręsti mums, žinoma, nereikalinga eksperimentuoti tikromis statinėmis. Visus reikalingus „perpylimus“ galima atlikti popieriuje kad ir pagal tokią schemą:

9 kibirų statinėje

 

0

 

7

 

7

2

 

2

0

 

9

6

 

6

5 kibirų statinėje

 

5

5

 

0

 

5

 

0

 

2

2

 

5

 

0

12 kibirų statinėje

7

 

0

5

 

5

10

 

10

 

1

 

1

6

Kiekviename stulpelyje užrašytas kiekvieno perpylimo rezultatas.

Pirmame: pripildoma 5 kibirų statinė, devynių kibirų statinė tuščia (0), 12 kibirų statinėje liko septyni kibirai.

Antrame: perpilama septyni kibirai iš 12 kibirų statinės į 9 kibirų statinę ir t. t.

Schemoje iš viso devyni stulpeliai; vadinas, uždaviniui spręsti prireikė devynių perpylimų.

Mėginkite patys spręsti tą uždavinį, pasirinkę kitą perpylimų tvarką.

Po eilės bandymų ir mėginimų jums tai, be abejo, pasiseks, nes mūsų pateikta perpylimų schema nėra vienintelė galima; tačiau esant kitai perpylimo tvarkai, jų gali būti daugiau kaip 9.

Ryšium su tuo įdomu išaiškinti štai ką:

1) ar negalima nustatyti tam tikrą perpylimų tvarką, kurios galima būtų laikytis visais atvejais, nepriklausomai nuo turimų indų talpos;

2) ar galima turint du tuščius indus nupilti iš trečiojo indo bet kurį galimą vandens kiekį, t. y., pavyzdžiui, iš 12 kibirų statinės turint 9 ir 5 kibirų statines nupilti vieną kibirą vandens, arba du kibirus, arba tris, keturis ir t.t., iki 11.

Į visus tuos klausimus atsakys „protingas“ rutuliukas, jei mes dabar įrengsime jam ypatingos konstrukcijos „biliardo stalą“.

Išbraižykite popieriaus lapą įstrižais langeliais taip, kad langeliai būtų lygūs rombai, kurių smailieji kampai turi po 60°, ir sudarykite figūrą OABCD, kaip parodyta 152 pav.

Tai ir bus „biliardo stalas“. Jei pastumsime biliardo rutuliuką išilgai OA, jis, atšokęs nuo borto AD tiksliai pagal dėsnį – „kritimo kampas lygus atspindžio kampui“ (kampas OAM = kampui MAc4, ims riedėti tiese Ac4, jungiančia mažų rombų viršūnes; atšokęs taške c4 nuo borto BC, jis riedės tiese c4a4, toliau tiesėmis a4b4, b4d4, d4a8 ir t. t.

Image
152 pav. „Protingo“ rutuliuko „mechanizmas“

Pagal uždavinio sąlygas turime tris statines: devynių, penkių ir dvylikos kibirų. Sutinkamai su tuo figūrą sudarysime taip, kad kraštinė OA turėtų devynis langelius, OB – penkis langelius, AD – tris langelius (12 – 9 = 3), BC – septynis langelius (12 –5 = 7). (Pripildyta statinė visuomet yra didžiausia iš visų trijų. Leiskime, kad tuščių statinių talpos yra a ir b, o pilnos – c. Jei c ≥ a + b, „biliardo stalą“ reikia sudaryti lygiagretainio formos a ir b langelių kraštinėmis.)

Pastebėkime, kad kiekvienas taškas figūros kraštinėse yra nutolęs tam tikrą skaičių langelių nuo kraštinių OB ir OA. Pavyzdžiui, nuo taško c4 – keturi langeliai iki OB ir penki langeliai iki AO; nuo taško a4 – keturi langeliai iki OB ir 0 langelių iki OA (nes tas taškas yra pačioje kraštinėje OA), nuo taško d4 – aštuoni langeliai iki OB ir keturi langeliai iki OA ir t. t.

Tuo būdu kiekvienas taškas kraštinėse figūros, į kurią suduoda biliardo rutuliukas, nustato du skaičius.

Susitarkime, kad pirmas tų skaičių, t. y. skaičius langelių nuo taško iki OB, reiškia kiekį kibirų vandens, esančių devynių kibirų statinėje, o antrasis, t. y. langelių skaičius nuo to paties taško iki OA, reiškia, kiek kibirų vandens yra penkių kibirų statinėje. Aišku, kad likęs kiekis vandens bus 12 kibirų statinėje.

Dabar viskas paruošta tam, kad biliardo rutuliukas padėtų jums spręsti uždavinį.

Paleiskite jį vėl išilgai OA ir, iššifravę kiekvieną jo smūgio į bortą tašką taip, kaip čia nurodyta, pasekite rutuliuko judėjimą kad ir iki taško a6 (152 pav.).

Pirmasis smūgio taškas: A (9; 0); vadinas, pirmasis perpylimas turi duoti tokį vandens paskirstymą:

9 kibirų statinėje

9

5 kibirų statinėje

0

12 kibirų statinėje

3

Tai gali būti įvykdyta.

Antrasis smūgio taškas: c4 (4; 5); vadinas, rutuliukas rekomenduoja tokį antro perpylimo, rezultatą:

9 kibirų statinėje

9

4

5 kibirų statinėje

0

5

12 kibirų statinėje

3

3

Ir tai gali būti įvykdyta.

Trečiasis smūgio taškas: a4 (4; 0); rutuliukas pataria trečiu perpylimu grąžinti 5 kibirus į 12 kibirų statinę:

9 kibirų statinėje

9

4

4

5 kibirų statinėje

0

5

0

12 kibirų statinėje

3

3

8

Ketvirtas taškas: b4 (0; 4); ketvirto perpylimo rezultatas:

9 kibirų statinėje

9

4

4

0

5 kibirų statinėje

0

5

0

4

12 kibirų statinėje

3

3

8

8

Penktas taškas: d4 (8; 4); rutuliukas reikalauja perpilti aštuonis kibirus į tuščią devynių kibirų statinę:

9 kibirų statinėje

9

4

4

0

8

5 kibirų statinėje

0

5

0

4

4

12 kibirų statinėje

3

3

8

8

0

Sekite toliau mūsų rutuliuką ir jūs gausite tokią lentelę:

9 kibirų statinėje

9

4

4

0

8

8

3

3

0

9

7

7

2

2

0

9

6

6

5 kibirų statinėje

0

5

0

4

4

0

5

0

3

3

5

0

5

0

2

2

5

0

12 kibirų statinėje

3

3

8

8

0

4

4

9

9

0

0

5

5

10

10

1

1

6

Taigi po visos eilės perpylimų tikslas pasiektas: dviejose statinėse yra po šešis kibirus vandens. Rutuliukas išsprendė uždavinį!

Jei leisite rutuliukui judėti ir po to, kai jis bus pasiekęs tašką a6, tai nesunku įsitikinti, kad šiuo atveju jis apeis visus figūros kraštinėse pažymėtus taškus (ir, apskritai, visas rombų viršūnes) ir tiktai po to grįš į tašką O. Tai reiškia, kad iš 12 kibirų statinės galima įpilti į devynių kibirų statinę bet kurį sveiką skaičių kibirų nuo 1 iki 9, o į penkių kibirų statinę – nuo 1 iki 5.

Bet rutuliukas pasirodė nelabai protingas.

Jis išsprendė uždavinį per 18 ėjimų, o mums pavyko jį išspręsti devyniais ėjimais (žr. pirmąją lentelę).

Tačiau rutuliukas gali pasiūlyti mums dar trumpesnę perpylimų eilę. Pastumkite jį pradžioje išilgai kraštinės OB ir sekite jo judėjimą laikydami, kad jis vyksta pagal dėsnį: „kritimo kampas lygus atspindžio kampui“. Pasiekęs tašką B, rutuliukas atšoks nuo kraštinės BC ir eis išilgai Ba5 (152 pav.). Toliau jis eis išilgai a5c6, c5d1, d1b1, b1a1, a1c1 ir pagaliau išilgai c1a6.

Iš viso 8 smūgiai! Iššifruodami kiekvieną smūgio į bortą tašką taip, kaip susitarta aukščiau, gausite uždavinio sprendinį šios lentelės pavidalu:

9 kibirų statinėje

0

5

5

9

0

1

1

6

5 kibirų statinėje

5

0

5

1

1

0

5

0

12 kibirų statinėje

7

7

2

2

11

11

6

6

Rutuliukas išsprendė uždavinį ekonomiškiausiu būdu – 8 ėjimais!

Bet toks uždavinys gali ir neturėti reikalaujamo išsprendimo.

Kaip rutuliukas parodo tai?

Labai paprastai: šiuo atveju jis grįš į išeities tašką O, nepraeidamas per reikalingą tašką.

153 pav. pavaizduotas uždavinio sprendimo mechanizmas, kai statinės yra devynių, septynių ir dvylikos kibirų talpos:

9 kibirų statinėje

9

2

2

0

9

4

4

0

8

8

1

1

0

9

3

3

0

9

5

5

0

7

7

0

7 kibirų statinėje

0

7

0

2

2

7

0

4

4

0

7

0

1

1

7

0

3

3

7

0

5

5

0

7

12 kibirų statinėje

3

3

10

10

1

1

8

8

0

4

4

11

11

2

2

9

9

0

0

7

7

0

5

5

„Mechanizmas“ rodo, kad iš pilnos 12 kibirų talpos statinės, turint dvi tuščias statines devynių ir septynių kibirų talpos, galima nupilti bet kurį skaičių kibirų, išskyrus jo turinio pusę, t. y. šešis kibirus.

Image
153 pav. „Mechanizmas“ rodo, kad pilną 12 kibirų statinę padalyti pusiau, turint tuščias devynių ir septynių kibirų statines, – negalima
 

154 pav. pavaizduotas uždavinio sprendimo mechanizmas trijų, šešių ir aštuonių kibirų statinėms. Čia rutuliukas, keturis kartus atšokęs, grįžta į pradinį tašką O.

Atitinkama lentelė

6 kibirų statinėje

6

3

3

0

3 kibirų statinėje

0

3

0

3

8 kibirų statinėje

2

2

5

5

rodo, kad šiuo atveju nuo 8 kibirų statinės negalima nupilti keturių kibirų arba vieno kibiro.

Image
154 pav. Dar vieno uždavinio apie perpylimus „mechanizmas“

Tuo būdu mūsų „biliardas“ su „protingu“ rutuliuku iš tikrųjų yra įdomi ir savotiška skaičiavimo mašina, neblogai sprendžianti perpylimo uždavinius.

 

 
< Ankstesnis   Kitas >